Transitorios eléctricos

Cuando al menos uno de los componentes de un circuito eléctrico cambia alguna de
sus propiedades, se inicia una etapa en la que también se modifican las variables que describen el estado del circuito (corrientes de ramas o mallas, o diferencias de tensión entre nodos), tendiendo hacia un estado de equilibrio compatible con dicho cambio. Los cambios que con mayor frecuencia se estudian en los cursos de Electricidad y Magnetismo son debidos a la apertura o cierre de llaves eléctricas. Pero tambi ́en pueden considerarse modificaciones bruscas de los valores de resistencias, capacitores, inductancias y/o fuentes que lo compongan.

Mientras las variables el ́ectricas evolucionan hacia el equilibrio, se dice que el circuito se
encuentra en estado o régimen transitorio. Si no ocurren nuevos cambios, finalmente se
alcanza el denominado estado, o régimen, estacionario. La frontera entre ambos estados es difusa, pero como se ver ́a, pueden establecerse criterios cuantitativos basados en los valores de los componentes circuitales, que permiten distinguir, convencionalmente, entre ambos.

Descripción matemática

Las correspondientes caídas de tensión, ∆VR, ∆VL y ∆VC , en función del tiempo en los elementos R, L y C, se modelan según se indica en el siguiente cuadro,

donde se asumió que la corriente inicialmente circulante por la bobina es nula. Nótese que se ha considerado que la carga inicial del capacitor, Q0, es la correspondiente a la placa del mismo por la que se considera que ingresa la corriente i.
Ejemplo: La corriente i(t) circulante por un circuito como el de la figura 4.1, en el que se asume que la llave se cierra en el instante t = 0, se modela de la siguiente manera: i(t) = 0 ∀t < 0, y luego del cierre de la llave satisface la siguiente ecuación ıntegro-diferencial.

que debe ser complementada con las condiciones iniciales correspondientes al circuito bajo estudio.

A continuación se analizarán los casos particulares de transitorios en circuitos RC, RL y RLC serie.

Transitorios en circuitos RC

Cuando se tiene un circuito RC como el de la figura 4.2, la ecuación (4.1) se reduce a la ecuación integral

siendo:

Diferenciando la ecuaci ́on (4.2) respecto del tiempo se obtiene la ecuación diferencial:

La condicón inicial surge trivialmente de la ecuación (4.2), y resulta

Resolviendo la ecuación (4.3) con la condición inicial (4.4), se llega a:

El intervalo temporal R C se denomina convencionalmente tiempo caracter ́ıstico del tran-
sitorio RC, y habitualmente se lo denota con el s ́ımbolo τ . En el caso que nos ocupa,
τ = R C corresponde al instante en el que la corriente se reduce a e−1 ≈ 0,37 de su valor
inicial. Expresado con otras palabras: i(τ ) es, aproximadamente, el 37 % de i(0)

De la ecuaci ́on (4.5) se desprende que la caída de tensión en el capacitor es:

Transitorios en circuitos RL

Cuando se tiene un circuito RL como el de la figura 4.3, la ecuación (4.1) se reduce a:

con la condición inicial i(0) = 0; de donde resulta:

siendo en este caso τ = L/R el tiempo característico del transitorio RL.

Transitorios en circuitos RLC serie

Un circuito RLC serie como el de la figura 4.1, puede describirse mediante la ecuación íntegro-diferencial (4.1), o bien mediante su diferencial.

cuyas raíces son:

donde se definió, para facilitar la notación,

Considerando que tanto R como L y C son positivas, se pueden dar tres casos según sea
el radicando

positivo, nulo o negativo; dando lugar a su vez, a las soluciones denominadas sobre-, crítica- y subamortiguadas, respectivamente, que severán a continuación.

Caso sobreamortiguado:

En este caso, la ecuación característica tiene dos raíces reales distintas, y por lo tanto resulta

siendo A y B dos constantes reales que dependen de las condiciones iniciales. Asumiendo que el capacitor esta inicialmente descargado resulta:

lo que implica:

por lo tanto se tiene:

Caso críticamente amortiguado:

En este caso el discriminante del polinomio característico se anula (β = 0) y sus dos
raíces colapsan en una sola de multiplicidad dos

La solución de la ecuación homogénea es entonces:

Y Aplicando las condiciones iniciales:

Caso subamortiguado:

En este caso se tiene:

siendo j la unidad imaginaria: j2 = −1 y

Aplicando las condiciones iniciales i(0) = 0 y

se obtiene:

Transitorios en circuitos alimentados con ondas cuadradas

Es frecuente estudiar experimentalmente fenómenos transitorios en circuitos eléctricos
alimentándolos con una onda cuadrada. Esto evita la necesidad de accionar manualmente
una llave eléctrica.

La fuente de onda cuadrada tiene la representaci ́on gr ́afica en función del tiempo que se ilustra en la figura 4.4, y se comporta para el circuito como si fuese una fuente de tensión que alternativamente toma los valores V0 y 0. Ver la figura 4.5.
Tenga presente que mediante el control de “offset” (corrimiento de cero) de la fuente se puede modificar el valor medio de la onda cuadrada (ver figura 4.6), lo que corresponde a una disposición experimental como la ilustrada en la figura 4.7.

Datos: uba.ar

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