Cómo obtener función armónica de forma de onda.

Método particular sobre cómo obtener función armónica de forma de onda “Gráfica” impresa o imagen.

Hoy les voy a conversar de un método que he utilizado por años para poder obtener funciones de graficas (función armónica) de formas de onda que he fotografiado u obtenido en impresiones de datos de equipos de medición.

Tenemos en este caso una imagen de una forma de onda obtenida en campo y necesitamos conocer el contenido armónico y obtener una función que sirva para caracterizar dicha gráfica.

En primer lugar revisamos la gráfica que se nos suministra:

Debemos tomar un numero de muestras de valores de la gráfica que sean múltiplos de 2^n, tales como 2,4,8,16,32, … mientras más puntos tomemos mejor será el resultado que logremos.

Para este caso seleccionamos 16, identificamos el periodo en la gráfica y lo dividimos entre 16, si no se puede distinguir exactamente el periodo no hay problema, asume 2xPi., dividimos 2*Pi/16=Pi/8, tenemos 16 segmentos de longitud Pi/8, ahora dividimos entre 2 para encontrar el punto medio de ese segmento y obtenemos nuestro primer punto Pi/16, y el resto de puntos que necesitamos serán los puntos medios de cada segmento que obtuvimos anteriormente, Pi/16+Pi/8, y así sucesivamente.

Ya con nuestro eje x segmentado, ubicamos los valores en el eje y 

Con los puntos identificados, calculamos la transformada rápida de Fourier (FFT), el método para encontrar la transformada rápida queda al gusto del lector, sin embargo para los usuarios de las calculadoras HP 48, recomiendo usarla para el cálculo:

Hecho el cálculo separamos el valor absoluto de cada término de la transformada y los argumentos.

Ya con nuestros valores separados viene la parte interesante del método.

El primer término de la transformada corresponde a lo que sería el valor medio de la función, si este es distinto de 0 significa que nuestra grafica posee una componente DC, este valor lo dividimos entre el número de muestras que tomamos para la transformada en este caso 16.

Tendríamos

Sigamos!… -0.45/16, y ahora tomamos los valores obtenidos desde las posiciones FFT{2} hasta la FFT{9} y creamos una serie conformada por la mitad de las muestras que tomamos, multiplicada por 2/16 *Sumatoria desde n=2 hasta 9, sum(FFT{n}, n = 2 .. 9) Recordando en este caso que n=2 sería el término de la frecuencia fundamental de la función N=n-1 y los sumamos

La sumatoria estaría conformada por -0.45/16+2/16*Σ.N=1,8(ABS(FFT{N})*cos(N*x+ARG(FFT{N}))))

Esto nos deja la siguiente expresión: (función armónica)

Veamos!….. -0.45/16 + 1/8*(7.99*cos(x – 0.977) + 0.55*cos(2*x – 1.5708) + 2.36*cos(3*x + 1.41) + 0.45*cos(4*x) + 1.31*cos(5*x + 1.5310) + 0.55*cos(6*x + 1.5708) + 0.915*cos(7*x + 2.153) + 0.45*cos(8*x + 3.1416))

Si graficamos la expresión calculada obtenemos:

Para solo 8 términos obtenemos una función bastante similar a la original, Mientras más muestra tomemos el resultado será más preciso.

Espero poder haberte compartido algo nuevo, este método puede ayudar a identificar rápidamente la función que genera la gráfica analizada y ayudarte a estudiar cada caso.

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AUTOR:   Henry R. Castañeda P.   Ingeniero de Proyectos Eléctricosen Promotora Tántalo – Grupo IRO.